soal terlampir
nt: mksi banyak orang baik
Jawab: α³ – 4β² + 19 = 0
Pembahasan
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat x² + x – 3 = 0 adalah bentuk persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan, sehingga akar-akarnya ditentukan dengan rumus ABC atau melengkapkan persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Akar-akarnya, yaitu α dan β, akan memiliki bentuk sekawan (konjugat) –b/(2a) ± (√D)/(2a), dan kita bebas memilih yang mana akar pertama, dan yang mana akar kedua.
Oleh karena itu, dalam penyelesaian persoalan ini, perlu ditetapkan ASUMSI, yaitu:
[tex]\begin{cases}\alpha=\dfrac{-b}{2a}+\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\\\\\beta=\dfrac{-b}{2a}-\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\end{cases}[/tex]
dengan [tex]D[/tex] adalah nilai diskriminan.
Perhatikan bahwa beda/selisih kedua akar adalah:
[tex]\begin{aligned}\alpha-\beta&=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{D}}{2a}-\left(\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{D}}{2a}\right)\\\alpha-\beta&=\frac{\sqrt{D}}{a}\end{aligned}[/tex]
sehingga dengan [tex]a=b=1[/tex] :
[tex]\begin{cases}\alpha=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{D}}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{D}-1\right)\\\\\beta=\alpha-\sqrt{D}\end{cases}[/tex]
Nilai diskriminan dari x² + x – 3 = 0 adalah:
D = b² – 4ac = 1 – 4·1·(–3)
⇒ D = 1 + 12 = 13
Kemudian, kita hitung [tex]\alpha^3-4\beta^2+19[/tex].
[tex]\begin{aligned}&\alpha^3-4\beta^2+19\\&{=\ }\alpha^3-4\left(\alpha-\sqrt{D}\right)^2+19\\&{=\ }\alpha^3-4\left(\alpha^2-2\alpha\sqrt{D}+D\right)+19\\&{=\ }\alpha^3-4\alpha^2+8\alpha\sqrt{D}-4D+19\\\end{aligned}[/tex]
[tex].\quad\left[\ \begin{aligned} \alpha^2&=\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{D}-1\right)\right]^2\\&=\frac{1}{4}\left(D-2\sqrt{D}+1\right)\\4\alpha^2&=D-2\sqrt{D}+1\\\alpha^3&=\alpha^2\alpha\\&=\frac{1}{4}\left(D-2\sqrt{D}+1\right)\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{D}-1\right)\\&=\frac{1}{8}\left(D-2\sqrt{D}+1\right)\left(\sqrt{D}-1\right)\\&=\frac{1}{8}\left(D\sqrt{D}-3D+3\sqrt{D}-1\right)\\&=\frac{1}{8}\left(\sqrt{D}(D+3)-3D-1\right)\\\end{aligned}\right.[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{8}\left(\sqrt{D}(D+3)-3D-1\right)\\&{\qquad}-\left(D-2\sqrt{D}+1\right)\\&{\qquad}+8\left(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{D}-1\right)\right)\sqrt{D}\\&{\qquad}-4D+19\\&{=\ }\frac{1}{8}\left(\sqrt{D}(D+3)-3D-1\right)\\&{\qquad}-D+2\sqrt{D}-1\\&{\qquad}+4D-4\sqrt{D}\\&{\qquad}-4D+19\\&{=\ }\frac{1}{8}\left(\sqrt{D}(D+3)-3D-1\right)\\&{\qquad}-D+2\sqrt{D}-4\sqrt{D}+18\\&{=\ }\frac{1}{8}\left(\sqrt{D}(D+3)-3D-1\right)\\&{\qquad}-D-2\sqrt{D}+18\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{8}\sqrt{D}(D+3)-2\sqrt{D}\\&{\qquad}-\frac{3}{8}D-D-\frac{1}{8}+18\\&{=\ }\frac{1}{8}\sqrt{D}(D+3-16)-\frac{11}{8}D+\frac{143}{8}\\&{=\ }\frac{\sqrt{D}(D-13)-11D+143}{8}\\&\quad...\ \textsf{substitusi nilai $D\leftarrow13$}\\&{=\ }\frac{\sqrt{13}(13-13)-11\cdot13+143}{8}\\&{=\ }\frac{0-143+143}{8}\\&{=\ }\frac{0}{8}\\&{=\ }\boxed{\ \bf0\ }\end{aligned}[/tex]
KESIMPULAN
∴ α³ – 4β² + 19 = 0
[answer.2.content]
